Question

观察下列等式：

1的3次方=1的2次方，1的3次方+2的3次方=3的2次方，1的3次方+2的3次方=6的2次方，1的3次方+2的3次方+3的3次方+4的3次方=10的2次方...想一想：等式左边各项幂的底数与右边的幂的底数有什么关系？猜猜，可得什么规律，把这中规律用等式表示出来，并用发现的第5个等式验证。

Answer 1

1³=1²
1³+2³=3²=(1+2)²
1³+2³+3³=6²=(1+2+3)²
1³+2³+3³+4³=10²=(1+2+3+4)²
...........
可以看出，等式左边各项幂的底数的和等于右边的幂的底数
第5个等式为：1³+2³+3³+4³+5³=15²
验证：1³+2³+3³+4³+5³=1+8+27+64+125=225
1+2+3+4+5=15
15²=225
所以1³+2³+3³+4³+5³=15²

Answer 2

　　解：∵所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；，右边的底数依次分别为3，6，10，（注意：这里3+3=6，6+4=10），
∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，右边的底数为10+5+6=21．又左边为立方和，右边为平方的形式。
13+23+…+n3=（1+2+…+n）2=[n(n+1)2]2=n2(n+1)24故第五个等式为13+23+33+43+53+63=212．

Answer 3

所有左边各项幂的底数相加=右边的幂的底数
1的3次方+2的3次方+3的3次方+4的3次方+5的三次方=15的2次方

Answer 4

(1)通过观察第一个式子，可知，1/n(n+1)=(1/n-1/n+1)
(2)①1/1×2+1/2×3+1/3×4+……+1/2006×2007=(1-1/2+1/2-1/3+······+1/2006-1/2007
)=(1-1/2007)=(2006/2007)
同理②1/1×2+1/2×3+1/3×4+……+1/n(n+1)=(
1-1/n+1
)=n/n+1
(3)因为1/2*4=1/2*(1/2-1/4)
1/4*6=1/2*(1/4-1/6)
∶
∶
∶
∶
∶
∶
1/2006*2008=1/2*(1/2006-1/2008)
所以，1/2×4+1/4×6+1/6×8+……+1/2006×2008=
=
1/2*(1/2-1/4)+
1/2*(1/4-1/6)+
······
1/2*(1/2006-1/2008)
=1/2*(1/2-1/4+1/4-1/6+
······+1/2006-1/2008)
=1/2*(1/2-1/2008)
=1/2*(1003/2008)
=1003/4016

Answer 5

21-15=6、27-21=6、33-27=6等号后面的数，后一个减前一个结果都一样