Question

若对于任何实数x,不等式|x+2|-|x-1|>a恒成立，试求a的取值范围

写过程

Answer 1

分类讨论
1 当 x＜-2时，x+2<0,x-1<0,
不等式左边
=-x-2-（-x+1）
=-x-2+x-1
=-3
2 当 x>1时，x+2>0,x-1>0,
不等式左边
=x+2-(x-1)
=x+2-x+1
=3
3当 -2<=x<=1时，x+2>=0,x-1<=0,
不等式左边
=x+2-(-x+1)
=x+2+x-1
=2x+1>=-2*2+1=-3
综上所述，不等式左边恒大于等于-3，因此要是不等式|x+2|-|x-1|>a恒成立，必须使-3>a，即a<-3
a的取值范围为a<-3.

Answer 2

若对于任何实数x,不等式|x+2|-|x-1|>a恒成立，试求a的取值范围
解：当x≦-2时有-(x+2)+(x-1)=-3>a，即有a<-3.
当-2≦x≦1时有(x+2)+(x-1)=2x+1>a，故有x>(a-1)/2，只要(a-1)/2<-2，即a<-3时该段条件成立。
当x≧1时，有(x+2)-(x-1)=3>a，即得a<3.
由于{a︱a<-3}∩{a︱a<3}={a︱a<-3} ，故满足题目要求的a的取值范围为a<-3.