设矩阵A^k=0矩阵(k为正整数),证明(E-A)^(-1)=E+A+A^2+...+A^(k-1)
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证明: 因为 A^k = 0
所以 (E-A)(E+A+A^2+...+A^(k-1))
= E+A+A^2+...+A^(k-1)
-A-A^2-...-A^(k-1)-A^k
= E - A^k
= E
所以 E-A 可逆, 且 (E-A)^-1 = E+A+A^2+...+A^(k-1)
所以 (E-A)(E+A+A^2+...+A^(k-1))
= E+A+A^2+...+A^(k-1)
-A-A^2-...-A^(k-1)-A^k
= E - A^k
= E
所以 E-A 可逆, 且 (E-A)^-1 = E+A+A^2+...+A^(k-1)
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