Question

设函数f（x+1）=x²+2x+2/-x²-2x，求解析式及定义域。求证：f（1/x）=-f（x）

要详细过程（是高一的题）
不好意思，更正一下，还要求f（x+1）的定义域，希望大家帮忙，谢谢。

Answer 1

设x+1=t
则x=t-1
所以f(t)=[(t-1)²+2(t-1)+2]/[-(t-1)²-2(t-1)]
=(t²+1)/(-t²+1)
所以f(x)=(x²+1)/(-x²+1)
定义域为-x²+1≠0
即x≠±1
因f(1/x)=[(1/x)²+1]/[-(1/x)²+1]
=(1+x²)/(-1+x²)
=-(x²+1)/(-x²+1)
=-f(x)
得证

Answer 2

f(x+1)=x²+2x+2 /-x²-2x=-1-（2/x²+2x）
再设x+1=t x=t-1代入上式得
f(t)=-1-2/(t²-1)解析式为f(x)=-1- 2/(x²-1)
定义域：明显的x²≠1 x≠1或者-1

f(1/x)=-1- 2/(1/x² -1)=-1-[2x²/(1-x²)]=-（1+x²）/（1-x²）
-f(x)=1+2/(x²-1)=(x²+1)/（x²-1）
明显地它们是相等的
得证。

Answer 3

f（x+1）=（x²+2x+2）/（-x²-2x）
令x+1=t,x=t-1
f（x+1）=f(t)=[（t-1)²+2(t-1)+2）/[-(t-1)^2-2(t-1)]
=(t^2+1)/(-t^2+1)
f(x)=(x^2+1)/(-x^2+1)
f（1/x）=(1/x^2+1)/(-1/x^2+1)=-(x^2+1)/(-x^2+1)=-f（x）