Question

一道初中数学几何题

如图，在RT三角形ABC中，CF是斜边AB上的高，角平分线BD交CF于G，DE⊥AB于E，以此求证：∠A=∠BCF/CD=CG=DE/AD=BD

请给出详细的解题思路，谢谢。

Answer 1

因为CF是AB上的高，所以CF垂直与AB，所以，角CFB=90度，，三角形ABC，角ACB是90度，角CBA+角A等于90度，而角CBA+角BCF等于90度，所以角A等于角BCF，用的是直角三角形的锐角互补等。

因为BD是角CBA的角平分线，所以，角CBD＝EDB，公共边BD，DE垂直与AB，所以三角形DEB和三角形DCB都是直角三角形，都有个90度的角，角EDB+DBE＝90度，角CDB+CDB＝90度，因为角CDB＝角EDB，所以角DBE＝CDB，所以，三角形DEB全等三角形DCB（SAS，边角边）所以，CD=DE。因为DE和CF都垂直于AB，所以DE平行CF，所以，角EDB=角FGB，角FGB=角DGC（对角相等）角EDB=CDB（前一个得出来，全等）所以，角CDB=角DGC，CD=CG（等腰三角形性质）最后，CD=DE=CG。

DE平行CF，所以角EDB=角BCF，角A=角BCF，所以角A=角EDB，，DE=DE（公共边），角DEA=角DEB，所以三角形DEA全等三角形DEB（AAS，角角边）所以，AD＝DB

Answer 2

已知三角形ABC为直角三角形且CF⊥AB，则三角形ABC相似于三角形CBF，所以角A等于角BCF
BD平分角CBA，所以三角形CBD全等于三角形EBD，所以CD=DE
因为角CDB+角CBD=90度，角BGF+角GBF=90度，且角GBF=角CBD，所以角CDB=角GBF=角CGD，所以三角形CGD是等腰三角形，所以CG=CD=DE。
AD=BD我没证出来。

Answer 3

简证：∠A+∠ACF=∠ACF+∠BCF ∴∠A=∠BCF
根据∠CGB和∠CGD是△ABD、△CGB的外角，∠CGD=∠CGB ∴CD=CG
根据角平分线的性质，DE=CD 从而CD=CG=DE
AD=BD不一定成立

Answer 4

因为∠A+∠ADE=90°（直角三角形两锐角互补）
又因为，DE⊥ABCF、是斜边AB上的高（已知）
所以，∠DEF=∠CFB=90°.
所以，DE平行于CF（同位角相等，两直线平行）
所以，∠ADE=∠DCF（两直线平行，同位角相等）
所以，∠A+∠DCF=90°（等量代换）
因为，∠DCF+∠BCF=90°（由题意和图像可得）
所以，∠A=∠BCF

Answer 5

证明：∵∠A+∠ABC=90 ∠BCF +∠ABC=90
∴∠A=∠BCF
∵BD是∠ABC的平分线
∴∠ABD=∠CBD 又∵∠ACB=∠DEB=90 DB=DB
∴△EBD≌△CBD ∴DE=CD ∠EDB=∠CDB
∵∠CGD=∠BGF=∠EDB ∴∠CGD=∠CDG
∴CD=CG=DE

AD=BD（此结论只有在∠A=30时成立）