Question

已知矩阵A,B满足ABA*=2BA*+E,其中A*是A的伴随阵，E是单位阵，求|B|

已知矩阵A=
2 1 0
1 2 0
0 0 1

Answer 1

解: |A| = 3

由 ABA*=2BA*+E

等式两边右乘A得 ABA*A=2BA*A+A

因为 A*A=|A|E=3E

所以 3AB = 6B+A

所以 (3A-6E)B = A

所以 B=(3A-6E)^-1A

3A-6E=

0 3 0

3 0 0

0 0 -3

(3A-6E)^-1 =

0 1/3 0

1/3 0 0

0 0 -1/3

B=(3A-6E)^-1A=

1/3 2/3 0

2/3 1/3 0

0 0 -1/3

矩阵

是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中， 在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。

Answer 2

解: |A| = 3.
由 ABA*=2BA*+E
等式两边右乘A得 ABA*A=2BA*A+A.
因为 A*A=|A|E=3E
所以 3AB = 6B+A
所以 (3A-6E)B = A
所以 |3A-6E| |B| = |A|
|3A-6E| =
0 3 0
3 0 0
0 0 -3
= 27
所以 27 |B| = 3
故 |B| = 1/9.