Question

求一道高一函数。要详细过程，谢谢

定义在[-1,1]上的奇函数f(x)满足当x∈(0,1]时,f(x)=2的x次方/(4的x次方+1)
(1)求函数f(x)在[-1,1]上的解析式
(2)用函数单调性的定义证明f(x)在(0,1)上是减函数；
(3)若f(x)=x+b在[-1，1]上有解,求b取值范围。

Answer 1

1\ 设x∈(0,1]
由f(x)+f(-x)=0
分子分母同时除以4^x f(-x)=-2^x/(4^x+1)=-2^(-x)/(1+4^(-x))
因为(-x)∈[-1,0) 所以x∈[-1,0) f(x)=-2^x/(4^x+1)
奇函数，所以f(0)=0
f(x)={2^x/(4^x+1) 0<x<=1
{0 x=0
{-2^x/(4^x+1) -1<=x<0
2\ 设0<x1<x2<1
f(x2)-f(x1)=2^x2/(4^x2+1)-2^x1/(4^x1+1)
=(2^x2*4^x1+2^x2-2^x1*4^x2-2^x1)/((4^x1+1)(4^x2+1))
=(1-2^(x1+x2))(2^x2-2^x1)/((4^x1+1)(4^x2+1))
因为2^x2>2^x1 2^(x1+x2)>2^0=1 (4^x1+1)(4^x2+1)>0
所以 f(x2)-f(x1)<0 所以f(x)在(0,1)上是减函数
3\ f(x)=x+b在[-1，1]上有解
所以b∈f(x)-x的值域
因为f(x)在(0,1)单调递减 -x在(0,1]也是单调递减，所以此时f(x)-x∈[-3/5,1/2)
又因为f(x)是奇函数，f(x)-x也是奇函数，x∈[-1,0)，所以此时f(x)-x∈(-1/2,3/5]
f(0)-0=0 所以f(x)-x的值域是[-3/5,3/5]
所以b的取值范围是[-3/5,3/5]