Question

已知B（-2，0），C（2，0），点A是Y轴正半轴上一点，CD⊥AC交Y轴于D，M为AC上一动点，N为AB延长线一动点，

已知B（-2，0），C（2，0），点A是Y轴正半轴上一点，CD⊥AC交Y轴于D，M为AC上一动点，N为AB延长线一动点，且满足AM+AN=2AC，MN交BC于E，连DE。（1）过M作MK⊥BC于K，求证：①ME=NE;DE⊥MN（2）过M做MK⊥BC于K，求证，①ME=NE ②DE⊥MN (3)在（2)的条件下问BC分之EK的值是否发生变化，若不变，求其值

Answer 1

证明:过N做NF⊥x轴于F
∵NF⊥x轴 MK⊥BC
∴∠NFC=∠MKF=90°
∵AB=AC
∴∠ABC=∠MCK
∵∠NBF=∠ABC
∴∠NBF=∠MCK
在△BFN和△MCK中
∠NFC=∠MKF=90°
∠FBN=∠MCK
BN=CM
∴△BFN≌△MCK(AAS)
∴NF=MK
在△EFN和△MEK中
∠BEN=∠MEK
∠NFC=∠MKF
NF=MK
∴△EFN≌△MEK(AAS)
∴EN=ME

连接BD,MD,DN
∵CD⊥AC
∴∠DCA=90°
∵BD⊥AN
∴∠DBN=90°
在△BND和△MCD中
BN=CM
∠NBD=∠MCD=90°
BD=CD
∴△BND≌△MCD(SAS)
∴DN=DM
∵NE=ME
∴DE⊥MN

∵△ENF≌△MEK
∴EF=EK
∵△BFN≌△MKC
∴BF=CK
∴EK=EF=1/2FK
=1/2(BF+OB+OC-CK)
=1/2(OB+OC)
∴EK/BC=1/2

Answer 2

（1）作辅助线，连接DM，BD，过点N作NE 垂直于AC，交x轴点E
则有：AB=AC，BD=BC，BD垂直于AB
又AM+AN=2AC，AN=AB+ BN
∴BN=MC

（2）在△MKC和NEB中，BN=MC，∠EBN=∠ABC=∠MCK
∴两三角形全等，MK=NE
∴在△NEF和MEK中，MK=NE，对角相等，两个三角形全等，ME=NE
在Rt△DCM和DBN中，BD=BC，BN=MC
∴两个三角形全等
DM=DN
则：E为等腰△DMN中点，故：DE垂直MN （三线合一）

（3）∵△ENF≌△MEK（已证）
∴EF=EK
∵△BFN≌△MKC（已证）
∴BF=CK
∴EK=EF=1/2FK
=1/2(BF+OB+OC-CK)
=1/2(OB+OC)＝1/2BC
∴EK/BC=1/2

Answer 3

　　证明:过N做NF⊥x轴于F
　　∵NF⊥x轴 MK⊥BC
　　∴∠NFC=∠MKF=90°
　　∵AB=AC
　　∴∠ABC=∠MCK
　　∵∠NBF=∠ABC
　　∴∠NBF=∠MCK
　　在△BFN和△MCK中
　　∠NFC=∠MKF=90°
　　∠FBN=∠MCK
　　BN=CM
　　∴△BFN≌△MCK(AAS)
　　∴NF=MK
　　在△EFN和△MEK中
　　∠BEN=∠MEK
　　∠NFC=∠MKF
　　NF=MK
　　∴△EFN≌△MEK(AAS)
　　∴EN=ME

　　连接BD,MD,DN
　　∵CD⊥AC
　　∴∠DCA=90°
　　∵BD⊥AN
　　∴∠DBN=90°
　　在△BND和△MCD中
　　BN=CM
　　∠NBD=∠MCD=90°
　　BD=CD
　　∴△BND≌△MCD(SAS)
　　∴DN=DM
　　∵NE=ME
　　∴DE⊥MN

　　∵△ENF≌△MEK
　　∴EF=EK
　　∵△BFN≌△MKC
　　∴BF=CK
　　∴EK=EF=1/2FK
　　=1/2(BF+OB+OC-CK)
　　=1/2(OB+OC)
　　∴EK/BC=1/2

Answer 4

（1）作辅助线，连接DM，BD，过点N作NL 垂直于AC，交x轴点L

则有：AB=AC，BD=BC，BD垂直于AB

又AM+AN=2AC，AN=AB+ BN

BN=MC

在三角形MKC和NLB中，BN=MC，角LBN

=ABC=MCK

两三角形全等，MK=NL

在三角形NEL和MEK中，MK=NL，对角相等，两个三角形全等，ME=NE

在直角三角形DCM和DBN中，BD=BC，BN=MC

两个三角形全等

DM=DN

则：E为等腰三角形DMN中线，故：DE垂直MN

未见第2题的问题。

Answer 5

（1）作辅助线，连接DM，BD，过点N作NL 垂直于AC，交x轴点L

则有：AB=AC，BD=BC，BD垂直于AB

又AM+AN=2AC，AN=AB+ BN

BN=MC

在三角形MKC和NLB中，BN=MC，角LBN

=ABC=MCK

两三角形全等，MK=NL

在三角形NEL和MEK中，MK=NL，对角相等，两个三角形全等，ME=NE

在直角三角形DCM和DBN中，BD=BC，BN=MC

两个三角形全等

DM=DN

则：E为等腰三角形DMN中线，故：DE垂直MN

Answer 6

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