Question

高中数学抛物线与椭圆问题

已知抛物线c1:x^2+by=b^2经过椭圆C2:x^2/b^2+y^2/b^2=1（a>b>0)的两个焦点
（1）求椭圆C2离心率
（2)设点Q（3.b)又点M,N为C1，C2不在y轴上的两个交点。若三角形QMN的重心在抛物线C1上，求C1与C2的方程

Answer 1

题目应是：已知抛物线c1:x^2+by=b^2经过椭圆C2:x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0)的两个焦点
（1）求椭圆C2离心率
（2)设点Q（3.b)又点M,N为C1，C2不在y轴上的两个交点。若三角形QMN的重心在抛物线C1上，求C1与C2的方程
解答过程如下：
（1）由抛物线x^2+by=b^2 知y=-(1/b)﹒ x^2+b ，图象开口向下的，与x轴交点为(b,0)，（-b,0）
因为椭圆C2:x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0)的焦点在x轴，且抛物线过它的焦点，因此，椭圆焦点分别为(b,0)，（-b,0），即b=c,由a^2= b^2+ c^2得a^2=2 c^2 ，所以e=√2/2
(2)因为椭圆和抛物线都关于y轴对称，且M,N为C1，C2不在y轴上的两个交点,
抛物线开口向下，因此，M,N分别在第三、四象限；
由x^2+by=b^2
C2:x^2/a^2+y^2/b^2=1
a=√2b
三个式可解得y=b(舍去) 或y=-b/2
将y=-b/2代抛物线方程中，得x=±(√6)b/2
因此M、N两点坐标分别是M(-√6b/2 , -b/2) ,N( √6b/2,-b/2)
又Q点为(3 ,b),由重心公式得△MNQ重心的横坐标为
(-√6b/2+√6b/2+3)/3=1
纵坐标为[(-b/2)+(-b/2)+b]/3=0
即重心坐标为(1,0) ，代入抛物线方程，得b=1 或 b=-1(舍去)
所以a=√2
得
抛物线C1方程为y=- x^2+1
椭圆C2方程为x^2/2+y^2=1

Answer 2

你的题是不是错了？C2是圆啊？圆的离心率是0啊。你应该是抄错题了。