Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD=AB，∠ABD=30° 求证：AD=DC

Answer 1

证明：∵AB=AC,∠BAC=90º
∴∠ABC=∠ACB=45º
∵BD=AB,∠ABD=30°
∴∠BAD=∠BDA=（180º-30º）÷2=75º
∵∠DAC=∠BAC-∠BAD=90º-75º=15º
∠DBC=∠ABC-∠ABD=45º-30º=15º
∴∠DAC=∠DBC
在BC上截取BE=AD
∵BD=AC，∠DBE=∠DAC，BE=AD
∴⊿BDE≌⊿ACD（SAS）
∴∠BDE=∠ACD
DE=DC
∴∠DCE=∠DEC
∵∠DEC=∠EBD+∠BDE=15º+∠ACD
∠DCE=∠ACB -∠ACD =45º-∠ACD
∴15º+∠ACD=45º-∠ACD
∴∠ACD=15º
∴∠ACD=∠DAC
∴AD=DC

Answer 2

作A关于BC的对称点E，连接BE CE DE 则四边形ABEC 是正方形。
还可知：三角形DBE是正三角形，所以三角形BAD和三角形ECD全等（边角边）
所以：AD=DC