Question

设a>0,f(x)=e*/a+a/e*(e>1)是R上的偶函数。

（1）求a的值
（2）证明:f(x)在（0，+无穷）上是增函数

Answer 1

(1) 设a>0,f(x)=e^x/a+a/e^x (e>1)是R上的偶函数
则f(-x)=e^(-x)/a+a/e^(-x)=1/(ae^x)+ae^x
=f(x)=e^x/a+a/e^x
即(a²-1)e^(2x)=a²-1
所以a²-1=0
因a>0
所以a=1
(2) f(x)=e^x+1/e^x
设有0<x1<x2
f(x2)-f(x1)=e^x2+1/e^x2-e^x1-1/e^x1
=(e^x2-e^x1)+(1/e^x2-1/e^x1)
=(e^x2-e^x1)-(e^x2-e^x1)/(e^x2*e^x1)
=(e^x2-e^x1)[1-1/(e^x2*e^x1)]
因0<x1<x2 e>1
所以e^x2>e^x1 e^x2-e^x1>0
e^x2*e^x1>1 1/(e^x1*x2)<1
所以1-1/(e^x2*e^x1)>0
故f(x2)-f(x1)>0
所以f(x)在（0，+无穷）上是增函数

Answer 2

设a>0,f(x)=e*/a+a/e*(e>1)是R上的偶函数。
这题很难啊