Question

已知函数f(x)=ax³-3x²+1-3/a,试讨论函数f(x)的单调性。

这道题是在当代中学生报 的选修1-1的假期作业第三版 的假期作业5的第10小题.

Answer 1

f(x)=ax³-3x²+1-3/a
f'(x)=3ax²-6x
驻点：x₁=0，x₂=2/a
f''(x)=6ax-6
f''(0)=-6<0 x₁=0 是极大值点
f''(2/a)=12>0 ,x₂=2/a是极小值点
∴当a<0时，x₂在x₁的左边：
x∈(-∞,a/2) f(x)单调递减
x∈(a/2,0) f(x)单调递增
x∈(0,+∞) f(x)单调递减
当a>0时，x₂在x₁的右边：
x∈(-∞,0) f(x)单调递增
x∈(0,a/2) f(x)单调递减
x∈(a/2,+∞) f(x)单调递增
a=0时，f(x)为二次函数对称轴x=0,x₂不存在
x∈(-∞,0) f(x)单调递减
x∈(0,+∞) f(x)单调递增