Question

如图所示,等边三角形ABC中,D是AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边三角形EDC,连接AE.求证:AE//BC.

Answer 1

证明：因为 三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形，
所以 角BAC=角DEC=60度，
所以 A，D，C，E四点共圆，
所以 角EAC=角EDC，
因为 角EDC=角ACB=60度，
所以 角EAC=角ACB，
所以 AE//BC。

Answer 2

证明：因为 三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形，
所以 角BAC=角DEC=60度，
所以 A，D，C，E四点共圆，
所以 角EAC=角EDC，
因为 角EDC=角ACB=60度，
所以 角EAC=角ACB，
所以 AE//BC
∠BCD=∠ACB-∠ACD=60°-∠ACD；（△ABC是正三角形）
∠ACE=∠DCE-∠ACD=60°-∠ACD;（△CDE是正三角形）
所以∠BCD=∠ACE;
又BC=AC，CD=CE；
所以△BCD≌△CDE;
推得∠ABC=∠CAE=60°,又∠ACB=60°，即∠CAE=∠ACB；
所以AE//BC;(内错角相等，两直线平行

Answer 3

∠BCD=∠ACB-∠ACD=60°-∠ACD；（△ABC是正三角形）
∠ACE=∠DCE-∠ACD=60°-∠ACD;（△CDE是正三角形）
所以∠BCD=∠ACE;
又BC=AC，CD=CE；
所以△BCD≌△CDE;
推得∠ABC=∠CAE=60°,又∠ACB=60°，即∠CAE=∠ACB；
所以AE//BC;(内错角相等，两直线平行）

Answer 4

证明:∠DCE=∠BCA=60°,则:∠ACE=∠BCD;
又AC=BC;DC=EC.故⊿ACE≌ΔBCD(SAS).
所以,∠CAE=∠CBD=60°.
则:∠CAE=∠BCA;
可知:AE∥BC.(内错角相等,两直线平行)