Question

近世代数问题

设G是一个群，H是G的m阶子群，a属于G，证明G中所有形如hah^-1(h属于H)的元素个数整除m

Answer 1

1、证：
x^3 = e，则x为1阶元素（即e本身）或3阶元素。
若x = e，则这样的x唯一。
若为G的3阶元素，则知x ≠ x^2，且二者均为G的3阶元素，从而G的3阶元素都成对出现。
再注意到G中元素生成的循环群互不相交，则若x ≠ y均为G的三阶元，x^2 ≠ y，则它们属于不同的循环群，即x^n ≠ y（任意n）。这保证了成对出现的3阶元素互不相交。
综上，G中使x^3 = e的元素个数为奇数（1个e加上偶数个3阶元）。

2、存在。有点像四元数中i、j、k的运算，对集合G = {e, a, b, c}，定义乘法
ea = a，eb = b，ec = c，
a^2 = b^2 = c^2 = e^2 = e，
ab = c，bc = a，ac = b，
乘法可交换。则易验证G是交接群，子群
{e, a}、{e, b}、{e, c}覆盖G。

3、Aut(Q) = {f(x) = q x | q 是非0的有理数}。
证：不难看出，若f是Q的同态，则
f(0) = f(0) + f(0)，从而f(0) = 0。
记f(1) = q，则由数学归纳法易见对自然数f(n) = n q。
f(-n) + f(n) = f(0) = 0，从而
f(-n) = - f(n) = - nq。
又归纳知 n f(x) = f(n x)，从而
f(x) = f(n x) / n。（x是任意有理数）
即对有理数m / n，有
f(m / n) = f(m) / n。
于是
f((m/n) * y) = (m/n) * f(y)，
对上式记x = m / n，并取定y = 1，则
f(x) = x f(1) = x q。
由f是单同态，则Ker f = {0}，从而q不为0。
容易验证当q为有理数时，f 还是满同态，从而是同构。
综上，Q的自同构就只有f(x) = q x（q不等于0）。

Answer 2

证明：做子群H在G上的群作用：对任何一个 ，H*x={hah^-1:h属于H} 。
从而|H*a| =|H：stab（a）|，这就表明全体形如hah^-1 的元素的个数必然是整除|H| 。