Question

已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(-√3,cosA),n=(2

已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(-√3,cosA),n=(2sinA,cos2A),且m‖n.①求角A的大小②如果a=3,求三角形ABC的周长的取值范围

Answer 1

解(1)∵m=(-√3,cosA),n=(2sinA,cos2A),且m∥n
∴-√3cos2A=2sinAcosA=sin2A
则tan2A=-√3
∴2A=2π/3+kπ 即A=π/3+kπ/2
又∵三角形是锐角三角形
∴A=π/3
(2)正弦定理：b/sinB=c/sin(120°-B)=a/sinA=3/(√3/2)=2√3
△ABC周长=a+b+c=3+2√3sinB+2√3sin(120°-B)
=3+2√3sinB+2√3*(√3/2cosB+1/2sinB)
=3+3√3sinB+3cosB
=3+6(√3/2sinB+1/2cosB)
=3+6sin(B+π/6)
∵0＜B＜π/2
∴π/6＜B+π/6＜2π/3
∴6＜3+6sin(B+π/6)≤9
故△ABC周长取值范围为( 6 , 9 ]