Question

积分根号1+x平方 dx 怎么算？请各位大侠帮助。我要过程具体是怎么算的。

Answer 1

替换 x=tan t, -pi/2<t<pi/2
dx=sec^2 t dt
根号(1+x^2)=根号(1+tan t^2)=sec t
积分=积分 sec^3 t dt
=积分 sec t sec^2 t dt
=积分 sec t d (tan t)
分部积分 =sec t * tan t - 积分 tan t * sec t tan t dt
=sec t * tan t - 积分 (sec^2 t -1) sec t dt
=sec t * tan t - 积分 sec^3 t dt + 积分 sec t dt
左右两边都有 积分 sec^3 t dt,合并到左边
2 积分 sec^3 t dt =sec t tan t +ln|sec t+tant |
积分 sec^3 t dt =1/2*[sec t tan t +ln|sec t+tant |]+C
然后就得代会去，x=tan t, sec t= 根号(1+tan^2 t)=根号(1+x^2)
积分=1/2*[ x*根号(1+x^2)+ln|x + 根号(1+x^2)| ]+C

Answer 2

令x=sinθ
dx/dθ=cosθ
dx=cosθ dθ
∫√(1+sin²θ) dx
=∫√(cos²θ)*cosθ dθ
=∫cosθ*cosθ dθ
=∫cos²θ dθ
=∫1/2(1+cos2θ) dθ
=1/2(θ+sinθ/2) +c
=1/2(sin^-1(x)+x/2)+c