Question

已知三角形ABC中，AB=BC=1，角ABC=90度，把一块含30度角的直角三角形DEF的直角顶点D放在AC的中点上

直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。
(1）图1中，DE交AB于M，DF交BC于N.
证明DM=DN;
在这一旋转过程中，直角三角板DEF与三角形ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否有变化？若发生变化，请说明是如何变化的？如不发生变化，请求出面积；（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DN=DM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长BC交AB于M，DN=DM是否成立？请写出结论，并证明。

Answer 1

解:(1)
①连接BD,
∵AB=BC ∠ABC=90°
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠C=45°
∵D是AC的中点
∴BD是△ABC的中线
∴BD是△ABC的高
∴∠BDC=90°
∴∠DBC=45°=∠DCB
∴BD=CD=AD
∴∠DBC=∠DAB=45°
∵∠EDF=90°=∠ADB ∠EDB为公共角
∴∠ADM=∠BDN
∴△ADM≌△BDN(ASA)
∴DM=DN.

②四边形DMBN的面积不发生变化，理由如下：
由①可知S△ADM=S△BDN
∴S四边形DMBN=S△ADB
已知△ADB的面积是一个定值
∴四边形DMBN的面积不发生变化
∵AB=AC=1，S△ADB=1/2S△ABC
∴S四边形DMBN=S△ABD=1/2S△ABC=1/4

Answer 2

证明：（1）①如图1，连接DB，在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，
∴DB=DC=AD，∠BDC=90°，
∴∠ABD=∠C=45°，
∵∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=90°，
∴∠MDB=∠NDC，
∴△BMD≌△CND，
∴DM=DN；
②四边形DMBN的面积不发生变化；
由①知△BMD≌△CND，
∴S△BMD=S△CND，
∴S四边形DMBN=S△DBN+S△DMB=S△DBN+S△DNC=S△DBC= 12S△ABC= 12× (22)2= 14；

（2）DM=DN仍然成立；
证明：如上图2，连接DB，在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，
∴DB=DC，∠BDC=90°，
∴∠DCB=∠DBC=45°，
∴∠DBM=∠DCN=135°，
∵∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°，
∴∠CDN=∠BDM，
∴△BMD≌△CND，
∴DM=DN．

（3）DM=DN

Answer 3

http://hi.baidu.com/jswyc/blog/item/9294bf8edeb120e6503d9276.html
表示刚好我也在找这道题的解题方法……希望能够帮到你~

Answer 4

很难,学校猥琐啊!我学科竞赛就考这个!我刚看完题目就收卷了…

Answer 5

缺图