Question

已知m n为正整数，关于x的方程x2-mnx+=0有正整数解，求m，n的值

Answer 1

由于原方程有正整数解，则原方程必可分解因式。用十字相乘法分解，可得
1 -1

X

1 -(m+n)
于是，-1-(m+n)= -mn [由此判断原方程必有一根为1]
即m+n+1=mn mn-m=n+1 m(n-1)=n+1 m=(n+1)/(n-1)
由于(n+1)比(n-1)大2而两数有公因数，则必可被2整除，于是n为奇数。同时，n-1又是n+1的因数，这样n-1只能等于2。于是n=3，则m=2。
实际上，由于原题未给出m和n的大小关系，则也可以是m=3，n=2。
这样，原方程就成了x^2-6x+5=0 (x-1)(x-5)=0 x=1或x=5