Question

数学考试，急好的加50，有步骤最好

在三角形ABC中，已知角A B C的对边分别为a b c，且b²sin²C+c²sin²B＝2bc cosB cosC.试判断三角形ABC的形状。

Answer 1

等腰直角三角形

b²sin²C+c²sin²B＝2bc cosB cosC
sin²C=1-cos²C，sin²B= 1-cos²B
原式左边=b²(1-cos²C)+c²(1-cos²B)
所以 b²+c²-b²cos²C+c²- c²cos²B = 2bc cosB cosC
b²+c²= b²cos²C + c²cos²B + 2bc cosB cosC

这时候就判断一下，这个三角形肯定是个特殊三角形，猜它是等腰直角三角形，b=c,带入没问题，等边三角形,b=c,cosC=cosB=1/2,不成立； 直角三角形，角B=30°，也不成立；所以，就只能是等腰直角三角形啦~

Answer 2

解：
∵在三角形ABC中，已知角A B C的对边分别为a b c，
且b²sin²C+c²sin²B＝2bc cosB cosC
则由正弦定理知：b/sinB=c/sinC=a/sinA=2R 代入上式整理得，
4R²sin²Csin²B+4R²sin²Bsin²C=8R²sinBsinCcosB cosC
∵ R＞0、B、C角度均大于0°（即sinB≠0,、sinC≠0）；
∴ cosB cosC-sinBsinC=0 即 cos(B+C)=0
∵0°＜∠B+∠C＜180°
∴∠ B+∠C=90°
∴ ∠A=90°
∴△ABC为直角三角形。

Answer 3

直角三角形