Question

初二数学全等三角形几何题！急急急！

如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内。
求证：PA=PQ

要过程和详细讲解！谢谢！

Answer 1

证明:．
∵△PBC和△QCD都是等边三角形，四边形ABCD是矩形，
∴PB=PC，CQ=CD=AB．
∴∠PBC=PCB=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠PBA=∠DCP=∠BCQ=90°-60°=30°．
∴∠PCQ=90°-∠DCP-∠BCQ=30°．
即∠PBA=∠PCQ．
又∵PB=PC，CQ=AB．
∴△PAB≌△PQC．
∴AP=PQ．

Answer 2

证明：
∵△PBC、△QCD是等边三角形
∴GC＝CO，PB＝PC，∠GCO＝∠COG＝60º
又∵四边形ABCD为矩形
∴AB＝CO ∴GC＝AB ，∠ADC＝90º，AD∥BC
∴∠POA＝∠PCB＝60º
∴∠PCD＝30º
∵GCD＝60º，∴∠PCG＝30º
又∵四边形ABCD为矩形，△PBC是等边三角形
∴∠PBC＝60º，∠ABC＝90º

Answer 3

∵四边形ABCD是矩形，△PBC、△QCD是等边三角形 (已知）
∴AB=OC=QC，BP=PC，∠QCO=∠CBP=∠BCP=60°，∠ABC=∠BCO=90°
∴∠ABC-∠CBP=∠BCO-∠QCO=30°
即∠ABP=∠BCQ=30°
又∠BCP=60°
∴∠QCP=∠BCP-∠BCQ=∠ABP=30°
又AB=CQ,BP=PC (已证）
∴△ABP≌△QCP （SAS)
∴PA=PQ （全等三角形对应边相等）

Answer 4

∠ABP=30° ∠qcp=30° AB=CD=QC（△QCD） PC=PB（△PBC） 所以△ABP全等与△PQC
所以PA=PQ