Question

数学 三角函数恒等变换

已知函数f（x）=（1+1/tanx）*sinx^2+msin（x+π/4）sin（x-π/4）
（1）当m=0时，求f（x）在区间【π/8，3π/4】上的取值范围；
（2）当tana=2时，f（a）=3/5，求m的值

Answer 1

解：
(1).
因为m=0，所以 f(x) = （1+1/tanx）*sinx^2
= （1+ cotx ）*sinx^2
= sinx^2 +( cosx / sinx) *sinx^2
= sinx^2 + sinxcosx
= 1- cosx^2 + 1/2* sin2x
= 1- (1+ cos2x)/2 + 1/2* sin2x
= 1/2 + 1/2 * (sin2x - cos2x)
= 1/2 +√ 2/2 sin(2x - π/4 )
π/8<x<3π/4，所以 π/4<2x<3π/2 ，所以 0<2x-π/4<5π/4，
所以-√ 2/2<sin(2x - π/4 )<=1，于是0<f(x)<(1+√ 2)/2。

(2).

追问

谢谢了啊

追答

我再打第二小问呵！

（2）.
x=a，f（a）=（1+1/tana）*sina^2+msin（a+π/4）sin（a-π/4）
然后做变形：
首先， sin（a+π/4）sin（a-π/4）
=√ 2/2(sina + cosa) * √ 2/2(sina - cosa)
=1/2(sina^2 - cosa^2）
= 1/2 * (sina^2 - cosa^2）/ (sina^2 + cosa^2)
分了分母同时除以cosa^2得 =1/2 * (tana^2 - 1 ) / ( tana^2 + 1) , ( 其中sina^2 + cosa^2=1）。
=1/2 * ( 2^2 - 1) / ( 2^2 + 1）
=3/10 。

然后是，（1+1/tana）*sina^2
=（1+ cota) *sina^2
=（1+cosa/sina) *sina^2
= sina^2 + sinacosa
= （ sina^2 + sinacosa）/(sina^2 + cosa^2)
同时除以cosa^2得 = (tana^2 + tana)/(tana^2 + 1)
=( 2^2 + 2)/(2^2 +1)
=6/5 。

于是有 f(a) = sina^2 + sinacosa + m1/2(sina^2 - cosa^2）
=6/5 + 3/10 m
=3/5，
解得： m = 2/5 。

我打得太慢了！！
那个第一小题 是，0<f(x)<=(1+√ 2)/2 。