Question

设函数f(x)=ka^x-a^(-x)(a>o且a≠)是定义域为R上的奇函数

（1）若f(1)＞0，试求不等式f(x^2+2x)+f(x-4)＞0的解集
（2）若f(1)=3/2，且g(x)=a^2x+a^-2x-4f(x),求g(x)在[1,.正无穷大)上的最小值

Answer 1

解:由题意得
f(-x)=-f(x)
=>ka^(-x)-a^x=-ka^x+a^(-x)
=>k[a^(-x)+a^x]-[a^(-x)+a^x]=0
=>k-1=0 =>k=1 =>f(x)=a^x-a^(-x)
(1) f(1)>0
=>a-a^(-1)>0 (a>0)
=>a^2>1
=>a>1 即函数f(x)=a^x+[-a^(-x)]为增函数
∵函数f(x)是奇函数
∴f(x^2+2x)+f(x-4)＞0
=>f(x^2+2x)>-f(x-4)
=>f(x^2+2x)>f(-x+4)
∴x^2+2x>-x+4
=>(x+4)(x-1)>0
=>x<-4或x>1 即不等式f(x^2+2x)+f(x-4)＞0的解集为（-oo，-4）或（1，+oo)
(2) g(x)=a^2x+a^-2x-4f(x)
=[a^x-a^(-x)]^2+2-4f(x)
=f(x)^2-4f(x)+2
=[f(x)-2]^2-2
∵f(1)=3/2
∴a-a^(-1)=3/2 =>a=2
∴函数f(x)递增
=>(f(x)-2)min=0
∴g(x)min=-2 即g(x)在[1,.正无穷大)上的最小值为-2.