Question

高二经典数学题！在线等！

在三角形ABC中，A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知面积S = a的平方 － (b －c)的平方，且b＋c = 8。
求：（1）cosA 的值；
（2）面积S 的最大值。

Answer 1

解：（1）

S ＝ a² － ( b － c)²
＝ a² － ( b² ＋ c² － 2bc)
＝ a² － b² － c² ＋ 2bc

而 S ＝ (1/2) × bc sinA

∴ a² － b² － c² ＋ 2bc ＝ (1/2) × bc sinA

∴ b² ＋ c² － a² ＝ 2bc － (1/2) × bc sinA

（很微妙，上式的左边是不是 与 cosA 有关？）

cosA ＝ (b² ＋ c² － a²) / 2bc

＝ 2bc － (1/2) × bc sinA / 2bc

＝ 1 － (1/4) × sinA

上式两边平方，得：

cos²A ＝ 1 ＋ (1/16) sin²A － (1/2)sinA

而 cos²A ＝ 1 － sin²A

∴ 1 ＋ (1/16) sin²A － (1/2)sinA ＝ 1 － sin²A

∴ (17/16) sin²A － (1/2)sinA ＝ 0

∴ sinA ＝ 0 （舍） 或 sinA ＝ 8/17

∴ 由cos²A ＝ 1 － sin²A 得：

cosA ＝ ± 15/17

而由 cosA ＝ 1 － (1/4) × sinA 知 cosA ＞ 0

∴ cosA ＝ 15/17

（2）

S ＝ (1/2) × bc sinA

＝ (1/2) × sinA × bc

＝ (4/17) × bc

欲求面积S 的最大值，只需求bc 的最大值。

由 (b ＋ c)² ≥ 4bc 知:

bc ≤ (b ＋ c)²/4 ＝ 8²/4 ＝ 16

∴ S ＝ (4/17) × bc ≤ (4/17) × 16 ＝ 64/17

即：面积S 的最大值为64/17。

祝您学习顺利！

Answer 2

（1）cosA 的值；
先画图
AC边上高H=c.cosC
S=1\2bc.cosC=a^2-（b-c)^2=a^2-b^2-c^2+2bc
由余弦定理得a^2=b^2+c^2-2bc.cosC
有1\2bc.cosC=b^2+c^2-2bc.cosC-b^2-c^2+2bc
5\2bc.cosC=2bc
cosC=4\5
（2）面积S 的最大值
S=1\2bc.cosC
S=2\5bc
b+c=8
有基本不等式b+c≥2√(bc)
故16≥ab
面积S 的最大值为S=2\5×16=32\5