Question

求高手解决一道函数极限问题

求这个函数在x趋向于1时的极限
用计算器求的是0.5
我认为，当X趋向于1时，InX接近它在X=1出得切线y=x-1，所以此时，InX用X-1代替，得到的结果为1，想知道我的这种做法哪里不对，也想知道本题能否用洛必达法则解决，如果能，请给出过程，如果不能，希望高手给出正确解答。

Answer 1

首先看到这样的思考方式，我感觉到你是个不错的学生。
在大学的极限里有个等价无穷小，比如当x→0，sinx与x为等价无穷小，即为sinx~x
当x→0,ln(1+x)~x,换个样子，就是x→1，lnx~x-1
因此是可以替换的，比如x→1，lim(x→1)lnx/[2(x-1)]=lim(x→1)(x-1)/[2(x-1)]=1/2
那么问题出现在哪呢？大学数学里有提到，limf(x)中的f(x)必须是A*B/C,就是必须是乘积或除的形式(只要满足其中一种就可以了）因此这样才能替换，而你这个题目是加减形式故不能替换。
以下用洛必达法则求解该题：
lim(x→1)f(x)
=lim(x→1)[xlnx-(x-1)]/(x-1)²
=lim(x→1)[x(lnx-1)+1]/(x-1)²
=lim(x→1)[x(lnx-1)+1]'/[(x-1)²]' ....使用洛必达法则
=lim(x→1)(lnx-1+x*1/x)/2(x-1)
=lim(x→1)(lnx)/2(x-1)
=lim(x→1)(1/x)/2 .....再次使用洛必达法则
=1/2

追问

想知道洛必达法则对于一个函数可以连续使用吗？（就是第一步使用后，再次使用），我过去一直以为如果使用一次不能消去等于零的项，就不能用洛必达法则求解........请指教

追答

当然可以连续使用，只要符合洛必达法则的条件即可。

Answer 2

本题通分后用洛必达法则肯定能做的。
我想你是有能力做出来的，所以就不给你做了，我只是说说你用x-1代替lnx为什么是错的。
不知你是大学生还是中学生，如果是中学生，等你上大学后就能想明白这个道理了。
大学生的话就该知道，你用x-1代替lnx相当于等价无穷小代换，这种方法有时能用，有时不能用的。因为函数是可以做Taylor展开的，你这种方法相当于用展开式的第一项代替了原来的函数，这样做通常是对的，但有时这样做的话，会发现关键项在加减运算中会正好被消去，相当于是“用切线代替精度不够”，这样就会出错了，如果你看不懂，就以后再说，别再用这种方法了。

给你举个简单的例子：lim sinx/x，lim (x-sinx)/x^3，x趋于0
这两个极限中，前一个极限，可以用x替换sinx，而后一个不行，原因就是我上面说的，因为在加减运算中关键项被消去了。

Answer 3

可以用洛必达法则，但先得通分，化成一个分式，然后用两次法则即可。
f(x)=[xlnx-x+1]/(x-1)^2--> lnx/[2(x-1)]---> 1/x/2-->1/2

你的做法不正确的地方是这里分母是2次的，因此你只用一次的X-1来替代不行，需用二次的形式：lnX=(x-1)-(x-1)^2/2 来替代。

Answer 4

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