设A，B为n阶矩阵，I为n阶单位矩阵，且A=（1/2）（B+I），证明A^2=A的充分必要条件是B^=I
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这个可以直接双向证明.
证明: A^2 = A
<=> (1/4)(B+I)^2 = (1/2)(B+I)
<=> B^2+2B+I = 2B+2I
<=> B^2 = I
注: 每步都是充分必要, 故A^2=A的充分必要条件是B^2=I
证明: A^2 = A
<=> (1/4)(B+I)^2 = (1/2)(B+I)
<=> B^2+2B+I = 2B+2I
<=> B^2 = I
注: 每步都是充分必要, 故A^2=A的充分必要条件是B^2=I
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?? 计算一下就行了吧...
I 是 全矩阵环 M_n(R) (或 M_n(C) )的乘法幺元， 与任一矩阵可交换.
I 是 全矩阵环 M_n(R) (或 M_n(C) )的乘法幺元， 与任一矩阵可交换.
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充分性：A=(1/2)(B+I)
A²=(1/4)(B²+2B+I)=(1/4)(I+2B+I)=(1/2)(B+I)=A
必要性：A²=(1/4)(B²+2B+I)=A=(1/2)(B+I)
那么B²+2B+I=2(B+I)
所以B²=I
A²=(1/4)(B²+2B+I)=(1/4)(I+2B+I)=(1/2)(B+I)=A
必要性：A²=(1/4)(B²+2B+I)=A=(1/2)(B+I)
那么B²+2B+I=2(B+I)
所以B²=I
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