Question

在各项均为正数的数列{an}中,数列的前N项和满足sn=1/2(an+1/an)

求a1 a2 a3
求an通项公式

Answer 1

sn=1/2(an+1/an)，an=sn-s(n-1)
所以2sn=sn-s(n-1)+1/[sn-s(n-1)]
sn+s(n-1)=1/[sn-s(n-1)]
sn的平方-s(n-1)]的平方=1
以此推处
s(n-1)]的平方-s(n-2)]的平方=1
s(n-2)]的平方-s(n-3)的平方=1
……………
s2的平方-s1的平方=1
左边相加得出 sn的平方-s1的平方=n-1， s1=a1很容易算出来等于1
sn的平方=n，sn=根号n
an=sn-s(n-1)=根号n-根号(n-1)
a1直接代进去算 a1=s1=1/2(a1+1/a1) 所以a1=1
用公式a2=根号2-1
a3=根号3-根号2

Answer 2

解：
（1）S1=1/2(a1+1/a1)
又S1=a1
故1/2(a1+1/a1)=a1
即a1^2=1 因为a1>0
故a1=1
S2=1/2(a2+1/a2)
又S2=a1+a2=1+a2
故1/2(a2+1/a2)=1+a2 (a2>0)
解得：a2=√2-1
同理：a3=√3-√2
（2）从（1）中可看出：数列{an}的通项公式可能是：an=√n-√(n-1)
假设an=√n-√(n-1)成立
证明：
① 当n=1时，an=1=√1-√(1-1)
假设成立
② 当n=2时，an=√2-1=√2-√(2-1)
假设成立
③ 假设n=i时，假设成立，即
ai=√i -√(i-1)
Si=(√1-√0)+(√2-√1)+(√3-√2)+…+(√i-√i-1)=√i
那么，当n=i+1时
由sn=1/2(an+1/an)得
Si+1=1/2(ai+1+1/ai+1)
ai+1=Si+1-Si=1/2(ai+1+1/ai+1)-√i
解得：ai+1=√(i+1)-√i
由①②③可证明假设an=√n-√(n-1)成立
an通项公式为：an=√n -√(n-1)

Answer 3

a1=1/2(a1+1/a1) a1=1 或-1（舍去）因各项均为正数
s2=1/2(a2+1/a2)=1+a2 a2=√2 -1 （-√2 -1舍去）
s3=1/2(a3+1/a3)=1+a2 +a3 a3= √3-√2 （-√3-√2 舍去）
所以：an=√n - √(n-1)

Answer 4

我就直接算通项公式，不算a2,a3了
a1=s1=1/2(a1+1/a1)
解得a1=1
n>=2时
sn=1/2(an+1/an)
2sn=sn-s(n-1)+1/[sn-s(n-1)]
sn+s(n-1)=1/[sn-s(n-1)]
[sn]^2-[s(n-1)]^2=1
所以[(sn)^2]为等差数列
所以(sn)^2=(n-1)+(s1)^2=n
所以sn=根号n
所以an=根号n-根号(n-1),n>=2

综上,
an=n，如果n=1
an=根号n-根号(n-1),如果n>=2

追问

2sn=sn-s(n-1)+1/[sn-s(n-1)]
这一步是怎么回事？

追答

因为an=sn-s(n-1)

Answer 5

根号n-根号（n-1). a1等于1，其余的可以根据通向算