Question

设数列{an}的前n项和为Sn,且满足S1=2，S(n+1)=3Sn+2(n=1,2,3) 设bn=2,S(n+1)=3Sn+2(n=1,2,3.....) 注：n+1

设数列{an}的前n项和为Sn,且满足S1=2，Sn+1=3Sn+2(n=1,2,3)
设bn=2,Sn+1=3Sn+2(n=1,2,3.....)
设bn=an比Sn平方，求证b1+b2+b3.....bn<1

Answer 1

S(n+1)=3S(n)+2
所以S(n+1)=3[S(n)+1]
所以S(n)=S(1)*3^(n-1)=2*3^(n-1)
对于n>=2而言，有a(n)=S(n)-S(n-1)=2*3^(n-1)-2*3^(n-2)=4*3^(n-2)
所以b1=a1/(S1)^2=1/2
对于n>=2而言，有bn=an/(Sn)^2=3^(-n)=(1/3)^n
所以b1+b2+b3+...+bn
=1/2+(1/3)^2+(1/3)^3+...+(1/3)^n
=1/2+(1/3)^2*[1-(1/3)^(n-1)]/(1-1/3)
=1/2+1/6*[1-(1/3)^(n-1)]
=2/3-1/6*(1/3)^(n-1)
<2/3
<1

Answer 2

不知道哦。。。。。。。。。。。