Question

怎样通过一维谐振子说明量子力学和普通力学的区别

Answer 1

一维谐振子介绍：

 所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。这种情况即为一维谐振子。

经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系

 经典谐振子与量子谐振子有着本质上的差别,但它们之间的差别并不是不可逾越的,接下来我们从能级、波函数等方面逐一讨论与比较。

1 . 经典谐振子和量子谐振子的区别

① 能量取值特点

由经典谐振子的动能和势能 : 

 

可知，经典谐振子的能量取值是连续的。

由量子谐振子的能量：  

                    

可知 : 量子谐振子的能量取值是分立的，即量子化的，且能级是等间距的，间距

为。能量取分立值是微观粒子具有波粒二象性这一量子特征的重要体现。

 由于能级间隔是等间距的，能级间的跃迁只发生在相临能级之间，即跃迁只能逐级进行，因此各跃迁都发生频率相同的辐射。实验测得的能谱只有一条谱线。能逐级进行，因此各跃迁都发生频率相同的辐射。实验测得的能谱只有一条谱线。 

② 零点能讨论

 由而由（4.1.3)式知，量子谐振子在基态能量不为零。即当n=0时，时称为零点能。这与经典谐振子完全不同，这再次说明微观粒子具有波粒二象性，绝对“静止”的波是没有的。

量子谐振子的零点能我们还可以直接利用量子力学中的不确定关系估算出

来。利用坐标和动量的不确定关系： 

谐振子的能量不确定度为：

使取最小的的值可由极值条件：

计算。我们求得，，

因此谐振子的零点能：

可见，谐振子基态是谐振子问题的最小不确定态，这是由其量子本性所决定的。

③谐振子的波函数

在量子力学中波函数本身无意义，但波函数绝对值的平方：与

粒子在空间某点出现的几率成正比。

首先我们以基态为例讨论位置几率、势垒贯穿。对于量子谐振子的基态：

 

 

Answer 2

1.经典理论下谐振子能量是连续谱，量子理论下是离散谱
2.经典理论下零点能为0，量子理论下零点能为hυ/2
3.|x|＞(mω/h)½(h上有一斜杠)是经典理论的禁区，禁区内谐振子不出现，量子理论中谐振子在经典禁区内出现的概率约为16％