Question

求统计学专业人士解答概率问题：

10张不同的卡片随机放在每一包零食里，小明想集齐10张卡片，请问小明平均需要购买多少袋零食。
答案是29.29
求给出计算过程
更正，“10张”应该改为“10种”，用No.1 No.2 No.3 No.4 No.5 No.6 No.7 No.8 No.9 No.10指代这10种类型的卡片；每包零食袋中都有一张卡片，但这张卡片是某一种特定类型的卡片的概率是0.1（如我买了一包零食，这包零食中的卡片是No.4卡片的概率是0.1）；小明希望每一种类型的卡片至少有一张，那么平均他至少需要购买多少袋才能做到每种类型至少一张卡片？

Answer 1

我们可以倒过来想一下，当他已经集齐9种的时候，集齐第10种平均要买多少袋？现在我们假设是a袋，则a应该等于第一次就成功乘以第一次就成功的概率，加上第二次才成功乘以第二次才成功的概率~~~一直加到第n次才成功乘以第n次才成功的概率，所以a=1*1/10+2*9/10*1/10+3*9/10*9/10*1/10+```+n*9^(n-1)/10^n。同理可得集齐第9种的概率b=1*2/10+2*8/10*2/10+3*8/10*8/10*2/10+```+n*8^(n-1)*2/10^n，集齐第8种的概率为~~~
所以我们有集齐第m+1（m不等于0，因为m=0的时候，即集齐第一张的时候肯定随便买一包都中，平均值为1）张的概率为1*m/10+2*m/10*(10-m)/10+3*m/10*m/10*(10-m)/10+```+n*(10-m)*m^(n-1)/10^n，集齐第m+1张时第n次刚好摸到所需的第m+1张的概率为p=n*(10-m)*m^(n-1)/10^n。所以集齐10种卡片就是所有p的和。下面用VB程序计算：
Private Sub command1_click()
Dim m!, n!, s!, t!
t = 0
For m = 1 To 9
For n = 1 To 100
s = n * (10 - m) * m ^ (n - 1) / 10 ^ n
t = t + s
Next n
Next m
Print "结果为" & t
End Sub
其结果为：28.28675。
注意：这里只包含了集齐第2至第10种的均值，再加上集齐第1张要买1袋，所以平均他需要购买29.28675，即29.29袋才能做到每种类型至少一张卡片。（这个程序你自己运算一下，但n的取值最大只能取100，因为计算机计算时最大只能算到10的100次方，有什么不懂的欢迎继续问。）

Answer 2

式子很难打
设第k次集齐，P(X=k)=((9^k-1)-(8^k-1))*10/10^k
E(X)=kP(X=k） k从10到正无穷的级数，算出来正好

追问

为什么前面k-1拿到9种组合是那样的一个式子？求详解。

追答

设ni 为用i种颜色填k-1个格子
n1=1
n2=2^k-1-n1
n3=3^k-1-n2-n1
……
n9=9^k-1-n8-n7-----n1
n9=9^k-1 - 8^k-1

追问

不要糊弄人哦，我用你的方法算了，答案是64.21465195，是用excel算的，数据输入了两遍，都是这个结果，你应该没有真正去算吧。
你的方法有启发性，但还是有问题，10种卡片是不同的，如：最后一种10中选一，如果前面k-1中仅出现其他8种，应该有从剩余9种中选一的过程，但式子即使调整为n9=9^k-1 - 9*n8 - 36*n7 ... 计算结果还是对不上。
对不上结果或方法让人看不懂我是不会选为最佳答案的哦

追答

n1=1
n2=2^k-1-2n1
n3=3^k-1-3n2-3n1
……
n9=9^k-1-C98n8-C97n7-----C91n1
这个也不对？

Answer 3

总共只有10张卡片吗？

追问

准确的说不是只有10张，应该说是10种类型，每一种类型的卡随机放在每一个零食包里

追答

是否可以理解为每袋零食中有卡片的概率是0.1？

追问

不是，每袋零食都有卡片，概率0.1是每袋零食中某种特定类型的卡片。我已经重新补充问题，可参见问题补充，题意现在应该是比较清晰了