Question

设椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的上顶点为A，椭圆C上两点P,Q在在x轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点

直线PQ的斜率为3/2过点A且与AF1垂直的直线与x轴交于点B，△AF1B的外接圆为M。（1）求椭圆的离心率（2）直线3x+4y+1/4a^2=0与圆M相交于E,F两点，且向量ME*向量MF=-1/2a^2,求椭圆的方程

Answer 1

(1)椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的上顶点为A（0，b),
P(-c,-b^2/a),Q(c,b^2/a),
PQ的斜率=b^2/(ac)=3/2,
∴a^2-c^2=3ac/2,
e^2+3e/2-1=0,0<e<1,
∴e=1/2.
（2）a=2c,b^2=3c^2,椭圆方程为x^2/(4c^2)+y^2/(3c^2)=1,
左焦点F1(-c,0),A(0,c√3），
AF1的斜率=√3，AB⊥AF1，
∴AB:y=(-1/√3）x+c√3，交x轴于B(3c,0),
∴△AF1B的外接圆M：（x-c)^2+y^2=4c^2,①
3x+4y+1/4a^2=0与圆M相交于E,F两点，
y=(-1/4)(3x+c^2),②
代入①*16，16（x^2-2cx+c^2)+(9x^2+6c^2x+c^4)=64c^2,
25x^2+(6c^2-32c)x+c^4-48c^2=0,
设E(x1,y1),F(x2,y2),M(c,0),
则x1+x2=(32c-6c^2)/25,x1x2=(c^4-48c^2)/25,
由②，y1y2=(1/16)(3x1+c^2)(3x2+c^2)
=(1/16)[9x1x2+3c^2(x1+x2)+c^4],
向量ME*向量MF=(x1-c)(x2-c)+y1y2
=x1x2-c(x1+x2)+c^2+(1/16)[9x1x2+3c^2(x1+x2)+c^4]
=(1/16)[25x1x2+(3c^2-16c)(x1+x2)+c^4+16c^2]
=(1/16)[c^4-48c^2-(2/25)(3c^2-16c)^2+c^4+16c^2]
=(1/8)[c^4-16c^2-(9c^4-96c^3+256c^2)/25]
=-1/2a^2=-2c^2,
16c^2+96c-256=0,
c^2+6c-16=0,c>0,
∴c=2.
∴椭圆方程为x^2/16+y^2/12=1.