Question

已知函数F(X)=X的3次方-4X的平方. (1)确定函数F(X)在哪个区间是增函数，在哪个区间是减函数； (2)求函数F(

已知函数F(X)=X的3次方-4X的平方.
(1)确定函数F(X)在哪个区间是增函数，在哪个区间是减函数；
(2)求函数F(X)在区间[0,4]的最大值和最小值

Answer 1

F(X) = X^3 - 4X^4 = X^3(3-4X)
F'(X) = 3X^2-16X^3 = X^2(3-16X)
X＜3/16时，F'(X)＞0，F(x)单调增，∴单调增区间（-∞，3/16)；
X＞3/16时，F'(X)＜0，F(x)单调减，∴单调增区间（3/16，+∞)

在区间[0,4]
最大值F(3/16) = (3/16)^3 * (3-4*3/16)=(3/16)^3 * 9/4 = 243/16384
f(0)=0-0=0
f(4)=4^3-4*4^2=0
最小值0
值域【0，243/16384】

Answer 2

对函数F(x)=x^3-4x^2求导，
得到：f'(x)=3x^2-8x,
由定义f'(x)>=0,为增函数，f'(x)<0,函数为减函数
得：令3x^2-8x>=0;
x(3x-8)>=0;
得：x=<0或x>=8/3;
即在（-无穷，0],[8/3,+无穷）为增函数，在（0,8/3）为减函数；
（2）根据第一题的结果，很容易得到的。