Question

试求出所有这样的两位数，在将他们分别乘以数2 3 4 5 6 7 8 9之后，所得结果的数字和不发生改变

Answer 1

这样的两位数有18、45、90、99。

显然，由A的数字和、9A的数字和相等，可知，A的数字和必是的倍数，A必能被9整除。
令A = 9K (K = 2、3、……、11)
显然，A的各位数字和只有9（当K=2、3、……、10时）、18（当K=11时）。

①当K=11时，A = 99 = 100 - 1
则2A、3A、……、9A
= 2（100 - 1）= 200 - 2 …… = 900 - 9
总经过2次退位，数字和恒为18，符合条件。

②当K≠11时。即要使A的2、3、……9倍的各位数字和仍为9。
注意到189是27、54、63的倍数；288是36、72的倍数；486是81的倍数。各位数字和为18，与题意矛盾。
因此仅余A = 18、45、90OK

综上，这样的两位数有18、45、90、99。