Question

线性代数，对一个矩阵做初等变换，会改变他的秩吗

Answer 1

不会改变
做初等变换相当于改原矩阵乘以一个可逆矩阵。
而乘可逆矩阵是不会改变其秩的

追问

为什么乘可逆矩阵不会改变秩

追答

A=（a1，a2,....,an）
设rank(A)=r,不妨设a1,a2,...,ar线性无关，其他ai可由其表出
B为可逆矩阵

那么BA=（Ba1，Ba2,...,Ban)
可证明Ba1，Ba2,...,Bar仍线性无关
设c1Ba1+c2Ba2+...+crBar=0
B(c1a1+c2a2+...+crar)=0
c1a1+c2a2+...+crar=0
c1=c2=...=cr=0
类似可证明其他Bai可由Ba1，Ba2,...,Bar表出
这就是秩不变。

Answer 2

⑪矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系； 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.