Question

f（x）定义在函数R上，且对任意函数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＞0，f（-1）=-2

已知f（x）定义在函数R上，且对任意函数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＞0，f（-1）=-2。
【1】证明：f（x）是奇函数；
【2】证明：f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；
【3】求f（x）在[-2，1]上的值域。

Answer 1

1.
∵ 定义在R上的函数f(x)满足对任意的x，y属于R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)
∴ f(x+0)=f(x)+f(0) → f(x)=f(x)+f(0) → f(0)=0
∵ 已经求得：f(0)=0
f(0)=f(x-x)=f(-x)+f(-x)=0
0=f(x)+f(-x)
∴ f(-x)=-f(x)
∴ f(x)为奇函数；

2.
f(x)的单调性
① 设0<x1<x2时，则：x2-x1>0
∵ x，y∈R， f(x+y)=f(x)+f(y)
∴ f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1) 又∵ 当x>0时，f(x)>0
∴ f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)>0 又∵ f(x)为奇函数(即：f(-x)=-f(x)
f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)>0
f(x2)-f(x1)>0
f(x2)>f(x1)
∴ 函数f(x)在x>0时，为增函数
② 设x1<x2<0时， 则：x2-x1>0
∵ x，y∈R， f(x+y)=f(x)+f(y)
∴ f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)>0 又∵ 当x>0时，f(x)>0
∴ f(x2-x1)=-f[-(x2-x1)]=f(x2)+f(-x1)>0 又∵ f(x)为奇函数(即：f(-x)=-f(x)
f(x2-x1)=-f[-(x2-x1)]=-f(x1-x2)>0
=-[f(x1)+f(-x2)]>0
=-[f(x1)-f(x2)]>0
=-f(x1)+f(x2)>0
f(x2)>f(x1)
∴ 函数f(x)在x<0时，为增函数
综上所述：x∈R时，函数f(x)为增函数。
∴f（x）在（-∞，+∞）上为增函数

Answer 2

（1）令x=y=0，则f(0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0
再令y=-x，所以f(0)=f(x)+f(-x)=0，所以f(-x)=-f(x)，所以f（x）是奇函数
（2）设x1、x2属于（-∞，+∞）且x1﹤x2
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)
=f(x2-x1)
因为-∞﹤x1﹤x2﹤+∞，所以x2-x1＞0,所以f(x2-x1)＞0，所以f(x2)-f(x1)＞0，所以f(x2)＞f(x1)，所以f（x）在（-∞，+∞）上为增函数
（3）-f(1)=f(-1)=-2,所以f(1)=2
f(-2)=f(-1)+f(-1)=(-2)+(-2)=-4
因为f（x）在（-∞，+∞）上为增函数,所以f（x）在[-2，1]上为增函数.
所以fmin(x)=f(-2)=-4,fmax(x)=f(1)=2
所以f（x）在[-2，1]上的值域为[-4,2]

Answer 3

1 f(1-2)=-2=f(1)+f(-2),f(-2)=f(-1)+f(-1)=-4,f(-1)=-4+f(1)=-2,f(1)=2,-f(1)=f(-1)所以它是奇函数
2 取任意x1 x2在R上，且x1<x2,f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1),因为x2-x1>0,所以f(x2-x1)>0
所以f(x2)>f(x1),所以它是在R上的增函数。
3 因为f(x)是在R上的增函数，所以求出f(-2)和f(1)的值就可以了。
f(-2)=-4,f(1)=2,值域为【-4，2】

Answer 4

bcvb

Answer 5

f