Question

急！过程：如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线,点P在射线BD上，若BC=4，∠APC=120°，

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线,点P在射线BD上，若BC=4，∠APC=120°，则BP长为

Answer 1

解：因为 角C=90度，角A=30度，
所以 角ABC=60度，
因为 角APC=120度，
所以 角ABC+角APC=180度，
所以 A，P，C，B四点共圆，
所以 角CPB=角CAB=30度，
所以 角APB=90度，
因为 在Rt三角形ABC中，角A=30度，BC=4，
所以 AB=2BC=8
因为 角ABC=60度，BD是角ABC的平分线，
所以 角ABP=30度，
又因为 角APB=90度，
所以 BP=4根号3。

追问

此题双解，请问另一个答案是什么

Answer 2

分两种情况

第一种,点P在三角形ABC外如图中点P

这时角ABC+角APC=120度,可得ABCP是圆内接四边形

所以角BPA=角BCA=90度

由已知,AB=2BC=8,角PBA=30度,

所以PA=4,PB=4根号3

第二种,点P在三角形ABC内

在第一种情况中,可求出角PAC=角PCA=30度,

可得PC=PA,且角APC=120度

所以以点P为圆心,PA为半径作圆必经过点C

设这个圆与BP交于点P'

有弧AP'C=120度,它所对的优弧AmC=240度,

得角AP'C=120度,所以点P' 即为满足条件的点P

这时PP'=PA=4

所以BP'=BP-PP'=4根号3－4

综上,所求BP长为4根号3或4根号3－4