Question

y=in(x+√(a^2+x^2)) a为常数 的导数是什么，要过程

Answer 1

y=ln[x + √(a²+x²)]
y'=1/[x + √(a²+x²)] * [1 + 2x / 2√(a²+x²)]，公式(lnx)'=1/x，链式法则
=1/[x + √(a²+x²)] * [√(a²+x²) + x] / √(a²+x²)，通分，约掉x + √(a²+x²)
=1/√(a²+x²)

追问

[1 + 2x / 2√(a²+x²)] 这个怎么出来的

追答

y = ln[x + √(a²+x²)]是一个复合函数，通常先对外层那个函数求导，然后乘以内层函数的导数
设y=ln(u)，u=x + √(a²+x²)
dy/du = 1/u，du/dx = 1 + 1/[2√(a²+x²)] * d(a²+x²)/dx = 1 + x/√(a²+x²)，内层函数a²+x²都要求导
所以y' = dy/dx = dy/du * du/dx
=1/u * [1 + x/√(a²+x²)]
=1/[x + √(a²+x²)] * [x + √(a²+x²)] / √(a²+x²)
=1/√(a²+x²)

符号：
dy/du表示函数y对u求导，du/dx表示函数u对x求导，结合就是dy/dx，函数y对x求导。

参考资料： http://baike.baidu.com/view/1654752.htm

Answer 2

u = x + (a²+x²)^(1/2), (a²+x²)^(1/2) = √(a²+x²)
u ' = 1 + (1/2) * (a²+x²)^(-1/2) * 2x 复合函数求导
= 1 + x / (a²+x²)^(1/2)
= u / (a²+x²)^(1/2)
y ' = (1/u) * u ' = 1 / (a²+x²)^(1/2) = 1 / √(a²+x²)

追问

(1/2) * (a²+x²)^(-1/2) * 2x 怎么出来的

追答

复合函数求导 v = (a²+x²)^(1/2)
v ' = (1/2) * (a²+x²)^(-1/2) * (a²+x²) '
= (1/2) * (a²+x²)^(-1/2) * 2x
= x / √(a²+x²)

Answer 3

解：设u = x + (a²+x²)^(1/2),
则 (a²+x²)^(1/2) = √(a²+x²)
所以u ' = 1 + (1/2) * (a²+x²)^(-1/2) * 2x
= 1 + x / (a²+x²)^(1/2)
= u / (a²+x²)^(1/2)
因此y ' = (1/u) * u ' = 1 / (a²+x²)^(1/2) = 1 / √(a²+x²)