Question

定义在【-1，1】上的函数f(x)是奇函数，且在定义域上是增函数且在定义域上是增函数，

定义在【-1，1】上的函数f(x)是奇函数，且在定义域上是增函数，又f(-1)=-1,若f(x)<=t²-2at+1对所有的a属于[-1,1]都成立，求实数t的取值范围。

Answer 1

解：f(x)是奇函数，所以f(1)=-f(-1)=1
f(x)在【-1，1】上增函数,最大值f(1)=1
若f(x)<=t²-2at+1对所有的a属于[-1,1]都成立，
即f(x)的最小值1<=t²-2at+1对所有的a属于[-1,1]都成立，
即：t²-2at≥0对所有的a属于[-1,1]都成立，
设 G(a)=-2at+t²，则这个函数的图像是一条线段，
要保证G(a)≥0对所有的a属于[-1,1]都成立，
只需 G（1）≥0且G（-1）≥0
-2t+t²≥0且2t+t²≥0
（t≥2或t≤0）且（t≥0或t≤-2）
所以 t≥2或t=0或t≤-2

Answer 2

由于f(x)的最大值为f(1)=-f(-1)=1,因此只要t²-2at+1>=1即t²-2at>=0即可。让后以a为主元，看成关于a的一次函数即 f(a)=-2at+t²,则（1）当a>0时，只需f(1)=-2t+t^2>=0即t<=0或t>=2(2)当a<0,时，只需f(-1)=2t+t^2>=0即t<=-2或t>=0即可（3）当a=0时，恒成立