Question

如何证明两个n阶上三角形矩阵的乘积仍为上三角形矩阵

Answer 1

二阶上三角矩阵的乘积是二阶上三角矩阵。（自己写成a、b、c、d的形式算算就显然可得）。
然后，三阶上三角矩阵可以分成四个子块，其中第一个子块是个二阶上三角，第二个子块是个数字，第三个子块是个0，第四个子块是个数字。于是，根据子块乘法和上面的结论可以得出三阶上三角矩阵乘积是三阶上三角矩阵。
然后就是归纳法咯。

Answer 2

证明: 设 A=(aij),B=(bij)是上三角n阶方阵
则当 i>j 时 aij=bij=0.
记 C = AB = (cij)
则当 i>j 时
cij = ai1b1j+...+aii-1bi-1j + ai,ibi,j +...+ ainbnj
(注意:前半部分 aij=0, 后半部分bij=0)
=0
所以 C=AB 也是下三角矩阵.