Question

如图，点P为等边三角形内一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，AM⊥BC，垂足为M，

试说明线段PD、PE、PF与AM之间的数量关系，并加以论证。

Answer 1

如图连接BP,AP,CP 

S⊿ABC=1/2AB·AH 

S⊿ABP=1/2AB·PF 

S⊿BCP=1/2BC·PD 

S⊿ACP=1/2AC·PE 

∵△ABC为等边三角形 

∴AB=BC=AC 

∴S⊿ABC=S⊿ABP＋S⊿ABP＋S⊿ACP 

即1/2AB·AH=1/2AB·PF＋1/2BC·PD＋1/2AC·PE 

∴PD+PE+PF=AH

Answer 2

PD、PE、PF与AM之间的数量关系是PD+PE+PF=AM
证明
连接PA、PB、PC
∵S△PAB=1/2 AB•PD S△PAC=1/2 AC•PE
S△PBC=1/2 BC•PF S△ABC=1/2 BC•AM
又∵S△PAB+S△PAC+S△PBC=S△ABC
∴1/2 AB•PD+1/2 AC•PE +1/2 BC•PF=1/2 BC•AM
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC
∴PD+PE+PF=AM

追问

为什么AB=AC=BC，
PD+PE+PF=AM 了？？

追答

1/2 AB•PD+1/2 AC•PE +1/2 BC•PF=1/2 BC•AM
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC
∴1/2 BC•PD+1/2 BC•PE +1/2 BC•PF=1/2 BC•AM
同乘2得 BC•PD+ BC•PE +BC•PF= BC•AM
同除以BC得
∴PD+PE+PF=AM

追问

谢啦，再帮我几道题，谢啦，一定有悬赏！行吗？

追答

我有点困啦，明天好吗

追问

行，祝你睡好觉，呵呵