Question

均值不等式是什么

Answer 1

概念：
1、调和平均数：Hn=
2、几何平均数：Gn=
3、算术平均数：An=
4、平方平均数：Qn=
5、均值定理： 如果
属于 正实数 那么

且仅当时 等号成立.
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、… 、an∈R +,当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号
均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r）（当r不等于0时）；
（a1a2...an)^(1/n）（当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n））
则 [1]当注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形,即D(-1）≤D(0）≤D⑴≤D⑵
由以上简化,有一个简单结论,中学常用2/(1/a+1/b）≤√ab≤（a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]
均值定理的证明：因为 a 〉0 , b 〉0 所以（ a+b）/2 - √ab =（ a+b-2√ab）/2 = (√a-√b)^2/2 ≥ 0
即（ a+b）/2≥√ab. 当且仅当a= b ,等号成立.[1]

记忆
调几算方,即调和平均数【Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)】≤ 几何平均数【Gn=(a1a2...an)^(1/n) 】≤算术平均数【An=(a1+a2+...+an)/n】 ≤平方平均数：【Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n】 Hn≤Gn≤An≤Qn