Question

请问什么情况低下才能使用等价无穷小代换？泰勒公式呢？

我看到很多资料上面写说如果相乘就可以直接使用等价无穷小代换，相加就要加入无穷小余项看是否能相消除。否则就用泰勒公式，但是我不懂泰勒公式优势在哪里（除了对付复合函数外），不都是有剩下无穷小的余项么？

书中有一题我就搞不通：
limx→∞{(1-e^x-x)/((2+x)sinx)}=1/2*limx→∞{(1-e^x-x)/x}
他这种解法，明明分母的1+X中的x直接转变成0来使用了，为什么可以直接转换为0？难道说只要不会造成无解或者无穷大就可以直接化成0么？谢谢

Answer 1

你说的(1+x)直接用算作1，是因为有定理，设f(x),g(x)极限存在，limf(x)=a,limg(x)=b，
则limf(x)g(x)存在，limf(x)g(x)=ab
如果条件不满足，不能随便将极限中的某部分直接用常数替换的
另外你那个极限是x->0吧(limx->∞sinx不存在)，
用泰勒公式的好处是可以迅速的确定一个式子大概的阶数是多少，就是求出主项和高阶项，用这个方法可以迅速确定极限的值，比如你的例子
e^x=1+x+O(x^2)
limx→0{(1-e^x-x)/((2+x)sinx)}
=limx→0{(1-[1+x+O(x^2)]-x)/(x+O(x^2))*limx→0[1/(2+x)]
=limx→0[-2+O(x^2)/x]/(1+O(x^2)/x]*limx→0[1/(2+x)]
limx→0O(x^2)/x=0
*左边极限为-2，右边极限为1/2
原式极限为-1

追问

谢谢，那么无穷小的余项不用进行消除么？

追答

请举个例子表达你的意思

追问

也就是说用泰勒公式的时候后面不是有个高阶无穷小么o（x^n），如果x的次方n不一样的话可以互相抵消么？还是说后面在结果出现的时候直接当作0来处理？谢谢之前一直没时间处理，我这里网速又慢。

追答

高阶的无穷小的和只取阶数最高的
比如O(x^4)+O(x^3)=O(x^3)
不要轻易将无穷小用零代替，一般如果知道阶数，比如，O(x^n)，那么要利用极限limO(x^n)/x^n=0
来最终消去无穷小这项。