Question

已知f(x)是定义在0到正无穷上的增函数，且满足f（x）=f(x)+f(y),f(2)=1

(1)求证f(8)=3
(2)若x满足f(x)-f(x-2)>3,求x的取值范围

Answer 1

f（x）=f(x)+f(y)？应该是f（x+y）=f(x)+f(y)吧？还是f（xy）=f(x)+f(y)？
估计是后者，因为后者才能解出（1），把x和y都取2，得到f(4)=2，再x=4,y=2，求得f(8)=3

第二步的话，把f(x-2)移到右边，再把3转换为f(8),则有f(x)>f(8)+f(x-2)，因为f（xy）=f(x)+f(y)，那么不难得出f(x)>f(8x-16)，再由该函数是递增的，则有x>8x-16，解得x<16/7。再结合题意，x-2>0,最后的结果为2<x<16/7

其实我在想，既然f（xy）=f(x)+f(y)，那么f（x/y）会不会等于f(x)-f(y)呢？根据f（xy）=f(x)+f(y)，可以得出，f(1)=0。而f(x/y)=f(x)+f(1/y)，f(1)=f(y)+f(1/y)=0，所以f(1/y)=-f(y)！！！
至此，f(x/y)=f(x)-f(y)成立！那么上面的第二步就可以这样写：f(x)-f(x-2)>3→f[x/(x-2)]>f(8)→x/(x-2)>8→x>8x-16→x<16/7，再结合题意，最后的结果还是2<x<16/7

Answer 2

应该是f（xy）=f(x)+f(y),吧
（1）令x=y=2，则f（4）=2
令x=2，y=4，则f（8）=f（2）+f（4）=3
所以f（8）=3
（2）
由（1）知，f(x)-f(x-2)>f（8）
所以f（x）>f（8）+f(x-2)=f（8（x-2））
因为f(x)是定义在0到正无穷上的增函数
所以x>8（x-2）
又因为f(x)是定义在0到正无穷上
所以x>0,x-2>0
综上所得，2<x<16/7

Answer 3

f(x/y)=f(x)-f(y)
f(x)=f(x/y)+f(y)
f(36)=f(36/6)+f(6)=2f(6)=2
f(x+3)-f(1/x)=f(x(x+3))<2=f(36)
x(x+3)<36
x^2+3x-36<0
(-3-3√17)/2<x<(-3+3√17)/2
因为，f(x)定义在(0,正无穷)
所以,x+3>0,1/x>0
x>-3,x>0
所以,定义域为：x>0
所以，不等式f(x+3)-f(1/x)小于2的解是：0<x<(-3+3√17)/2