Question

奥数（详细再加分）

有一个数：1357924，重复写287次组成一个2009位的数：13579241357924......删去这个数中所有奇数位数上的数字，按上述方法已知删除下去直到剩下一个数为止，则最后剩下的数字是？

Answer 1

第一次删完剩3721594重复143次最后还有一组372（37215943721594........372，1004位数），
第二次删完剩7193254重复71次最后还有一组71932（71932547193254.......71932,，502位数），
第三次删完剩1357924重复35次最后还有一组135792（13579241357924......135792，251位数），
第四次删完剩3721594重复17次最后还有一组372159（37215943721594......372159,125位数），
第五次删完剩7193254重复8次最后还有一组719325（71932547193254......719325,62位数），
第六次删完剩1357924重复3次最后还有一组135792（135792413579241357924135792,27位数），
第七次删完剩3421594372159
第八次删完剩719325
第九次删完剩135
第十次删完剩3
中间重复数位有规律的，多写几个就能看出来

Answer 2

7

Answer 3

你好，最后剩下的数字是3

追问

我们老师也说是3，但没说是怎么算的。过程？

追答

思路，首先我们先不管1357924 这几个数
因为是2009 个数 ，分别用a1 ,a2...a2009表示
第一次去掉奇数位数 剩下的数是 a2 ,a4...a2008
第二次去掉奇数位数剩下的数是 a4 ,a8....a2008
第n次去掉奇数位数剩下的数是 a2^n 2*a2^n ...
所以 另2^n<2008/2
n=9
也就是第n次去掉奇数位后 剩下的数为 a512 ,a 1024.
最后 再去除一次 则剩下的是第1024位。
因为是7数一循环，所以1024/7余2.
所以是3

Answer 4

4

Answer 5

第一轮删去的是（2k+1）位的，第二轮删去的是2（2k+1）位的，第三轮删去的是4（2k+1）位的……，换言之位数中2的方幂越高保留时间越长，所以最后留下第2^7=1024位。 1024除以7余2，所以第1024位为3
PS。这是按从左到右数的位数，1第一位，3第二位……要是从右往左数的话第1024位是2.

Answer 6

就应该是这个2009位上数字的正中间的一个，因为整个数字的数位是奇数。正中间的那个数是第（2009+1）/2＝1005，7个数字一循环，所以用1005除以7＝143……4，则第1005个数是7，剩下的就是7了

追问

呃，各位的意见都不一样啊。

追答

因为总数位是奇数个（2009），所以第一次删除的时候，删除的是第1、3、5、7……2009位，这一共是1005个，还有1004个数字，再删的时候，是原来数列的第2、6、10、14……这一共是去了502个，第三次删的是第4、12、20……这是251个，那我原来的错了

追问

那是多少呢？
求详细解答。