Question

高数题 lim{<[(1+x)的1/2次方]-[(1-x)的1/2次方]>/<[(1+x)的1/3次方]-[(1-x)的1/3次方]>}=？ x趋向于0

要过程

Answer 1

一看题目的难点在于1/2次方和1/3次方，想办法去掉
利用公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 和a^2-b^=(a+b)(a-b)
分式上下同时乘以[(1+x)^1/2]+[(1-x)^1/2]x{[(1+x)^1/3]^2+[(1-x)^1/3]^2+[(1+x)^1/3][(1-x)^1/3]}
注意上式在x趋于0时，等于2x3=6
很容易化简原式
lim3[(1+x)-(1-x)]/2[(1+x)-(1-x)]=3/2

上面是没有学洛必达法则时的方法，学了洛必达之后，因为极限是0/0型，采用洛必达，上下同时求导，非常容易化简结果为3/2。

Answer 2

你把分子进行分子有理化 分母进行分母有理化 就很简单了

分子有理化 利用平方差公式
(1+x)^(1/2)-(1-x)^(1/2)=[(1+x)-(1-x)]/[(1+x)^(1/2)+(1-x)^(1/2)]
=2x/[(1+x)^(1/2)+(1-x)^(1/2)]

分母有理化 利用立方差公式
1/[(1+x)^(1/3)-(1-x)^(1/3)]=[(1+x)^(2/3)+(1-x^2)^(1/3)+(1-x)^(2/3)]/[(1+x)-(1-x)]
=[(1+x)^(2/3)+(1-x^2)^(1/3)+(1-x)^(2/3)]/2x

因此 原式=lim{2x/[(1+x)^(1/2)+(1-x)^(1/2)]}*{[(1+x)^(2/3)+(1-x^2)^(1/3)+(1-x)^(2/3)]/2x}
=lim[(1+x)^(2/3)+(1-x^2)^(1/3)+(1-x)^(2/3)]/[(1+x)^(1/2)+(1-x)^(1/2)]
=3/2 （x趋近于0）