Question

已知a^2+b^2=1,x^2+y^2=1,其中a、b、x、y属于R,用向量方法证明：-1≤ax+by≤1 (要求过程完整）

Answer 1

设：向量A=(a,b), 向量B=(x,y)　　则：|A|=1,|B|=1
则有：AB=ax+by=|A||B|cosX
得：ax+by=cosX
因：0≤X<π 所以：-1<cosX≤1
则：-1＜ax+by≤1

追问

为什么0≤X<π？

追答

向量间的夹角的取值范围就是[0,π).
X是两向量间的夹角，所以是0≤X<π

追问

为什么向量间的夹角的取值范围就是[0,π).?

追答

向量相当于两条直线，你看两条直线的夹角就明白了，
0度时，互相重合，
π度时，也是互相重合，所以就二者取其一了。这是规定！

追问

可是题目要求证明的是-1≤ax+by≤1

追答

是我错了，0≤X≤π 所以：-1≤cosX≤1
则：-1≤ax+by≤1

两条直线，你看两条直线的夹角的夹角是[0,π).
向量是[0,π].
0度时，表示两个向量是同向的！
π度时，表示两个向量是反向的！
不好意思！让你走了弯路了！

Answer 2

a^2+b^2=1,x^2+y^2=1
设a=cosm,b=sinm
x=cosn,y=sinn
ax+by=cosmcosn+sinmsinn
=cos(m-n)
根据三角函数的性质得
-1≤ax+by≤1