Question

一道高中数学题，急

2011新课标高中数学理第18题
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，

∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.

(Ⅰ)证明：PA⊥BD；

(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

这个题的第二问能不能不用空间直角坐标系的方法解,希望大家提供一下除了标准答案以外的方法，谢谢
标准答案：（好多符号显示不出来啊。。）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为 轴的正半轴建立空间直角坐标系D- ，则
， ， ， 。

设平面PAB的法向量为n=（x，y，z），则
即
因此可取n=
设平面PBC的法向量为m，则
可取m=（0，-1， ）
故二面角A-PB-C的余弦值为

Answer 1

(1)因为∠DAB=60°,AB=2AD
所以三角形DAB是直角三角形，DB⊥AD
因为PD⊥这个平面，AD是PA在这个平面的投影，故PA⊥DB
（2）PD⊥这个平面，所以AD⊥PD
又因为AD⊥DB，所以AD⊥平面PDB。
过D做DE垂直PB并交其于点E，连接AE，
∠AED即为所求角。
其余就是计算了。（做到最后不知道你的标准答案到底是什么）

Answer 2

当然能，就是把各点坐标都写出来，然后计算啊，这个最大的好处就是不用分析

Answer 3

能的，用向量法可以解决的

Answer 4

三角形ABD为Rt三角形，AD垂直于BD，又因为PD垂直于底面，所以PD垂直于BD。得到BD垂直于面PAD，进而得到PA垂直于BD.

追问

我想问的是第二问，不是第一问。能不能用空间直角坐标系以外的方法解

Answer 5

解（1）用余弦定理计算三角形ABD中 BD的长度为根号3倍的AD，则该三角形三变长度符合勾股定理，所以BD垂直AD，又因为PD垂直BD，且PD与AD相交，则BD垂直与面ADP，所以BD垂直与直线AP。
（2）先做辅助线过A点做PB的垂线交于M点，过M 做BC的平行线交PC于N点，则角AMN是A-PB-C的二面角。题目只要求算这个角的余弦值，可以用余弦定理算出个边的长度，带入即可，