Question

证明 当X>0是 有不等式 1/1+x<In[(1+x)/x]<1/x

Answer 1

解1：ln[(x+1)/x]=ln(1+x)-lnx
在[x,x+1]上用拉格朗日中值定理得
ln(1+x)-lnx=(1+x-x)(1/ε)=1/ε 其中 x<ε<x+1
所以1/(x+1)<1/ε<1/x
于是1/(x+1)<ln(1+x)-lnx<1/x原命题得证
解2：构造函数用单调性证明x/(1+x)<ln(1+x)<x成立
然后令x=1/x就得到要证的不等式。过程略，就是简单的构造函数求导。