已知函数f(x)对任意x,y属于R，满足f(x)+f(y)=f(x+y)+2，当x>0时，f(x)>2 求证：1， f(x)在R上是增函数， 2
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1.令x=m，x+y=n。则y=n-m 不妨假设m<n
对任意的m<n，代入已知，都有
f(m)+f(n-m)=f(n)+2
即f(n)-f(m)=f(n-m)-2
因为m<n，所以n-m>0
所以，f(n-m)>2
所以, f(n-m)-2>0
所以，f(n)-f(m)>0
故对于任意的n>m，都有 f(n)>f(m)
所以，f(x)为R上的增函数。
2.若f(3)=5
f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)+2-2=f(1)+f(1)+f(1)-2=3f(1)-2
又f(1)+f(2)=f(1+2)+2=f(3)+2=5+2=7
所以3f(1)-2=7，所以f(1)=3
所以就是解
f(a^2-2a-2)<3=f(1)
f(x)是增函数，就是解：
a^2-2a-2<1
即a^2-2a-3<0
化为:(a+1)(a-3)<0
故，解集为：(-1，3)
对任意的m<n，代入已知，都有
f(m)+f(n-m)=f(n)+2
即f(n)-f(m)=f(n-m)-2
因为m<n，所以n-m>0
所以，f(n-m)>2
所以, f(n-m)-2>0
所以，f(n)-f(m)>0
故对于任意的n>m，都有 f(n)>f(m)
所以，f(x)为R上的增函数。
2.若f(3)=5
f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)+2-2=f(1)+f(1)+f(1)-2=3f(1)-2
又f(1)+f(2)=f(1+2)+2=f(3)+2=5+2=7
所以3f(1)-2=7，所以f(1)=3
所以就是解
f(a^2-2a-2)<3=f(1)
f(x)是增函数，就是解：
a^2-2a-2<1
即a^2-2a-3<0
化为:(a+1)(a-3)<0
故，解集为：(-1，3)
参考资料： http://zhidao.baidu.com/question/83201983.html?an=0&si=2
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