Question

高一数学必修一，关于利用函数奇偶性求解析式

已知 f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，且满足f（x）+g（x）=1/（x-1），求f（x），g（x）

Answer 1

解：因为f（x）+g（x）=1/（x-1）……(1)，所以f（－x）+g（－x）=1/（－x-1），
又 f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，有f（x）－g（x）=－1/（x＋1）……(2)，
(1)+(2)得2f(x)＝2/(x^2－1)，所以f(x)＝1/(x^2－1)，(1)－(2)得2g(x)＝2x/(x^2－1)，所以g(x)＝x/(x^2－1)。

Answer 2

f(x)+g(x)=1/(x-1)
f(-x)+g(-x)=1/(-x-1)---> f(x)-g(x)=-1/(x+1)
两式相加再除以2即得：f(x)=[1/(x-1)-1/(x+1)]/2=1/(x^2-1)
两式相减再除以2即得：g(x)=[1/(x-1)+1/(x+1)]/2=x/(x^2-1)

Answer 3

由题意可知
f（x）-【-g（x）】=1/（x-1）
化简得
f（-x）-g（-x）=-1/【1+（-x）】
所以
f（x）-g（x）=-1/（1+x）
又因为
f（x）+g（x）=1/（x-1）
所以
2f（x）=2/（x^2-1）
所以
f（x）=1/（x^2-1）
故
g（x）=x/（x^2-1）

Answer 4

由 f（x）为偶函数，g（x）为奇函数可得： f（x）= f（-x），g（x）=-g（-x），
代入f（x）+g（x）=1/（x-1）可知，f（-x）-g（-x）=1/（-x-1）=-1/（x+1），
两式相减，可得，f（x）+g（x）-f（-x）+g（-x）=1/（x-1）+1/（x+1），
即2 g（x）=2x/[(x-1)(x+1)]，所以g（x）=x/[(x-1)(x+1)]，
代入f（x）+g（x）=1/（x-1），可得
f（x）=1/（x-1）-x/[(x-1)(x+1)]=1/[(x-1)(x+1)]。