Question

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，√3b=2asinB，且向量AB•向量AC＞0.

（1）求∠A的度数
（2）若cos(A-C)+cosB=√3/2，a=6，求△ABC的面积.

Answer 1

解：
(1)
∵a/sinA=b/sinB=2R
∴a=2RsinA，b=2RsinB
∵(√3)b=2asinB
∴(√3)2RsinB=2×2RsinA×sinB
∴(√3)sinB=2sinAsinB
∵在△ABC中，0<∠B<180°
∴sinB≠0
∴(√3)=2sinA
∴sinA=(√3)/2.
∵向量AB•向量AC>0
∴|向量AB|×|向量AC|×cosA>0
∵|向量AB|>0，|向量AC|>0
∴cosA>0
∴∠A=60°.
(2)
∵在△ABC中，A+B+C=π
∴B=π-(A+C)
∵cos(A-C)+cosB=(√3)/2
∴cos(A-C)+cos[π-(A+C)]=(√3)/2
∴cos(A-C)-cos(A+C)=(√3)/2
∴(cosAcosC+sinAsinC)-(cosAcosC-sinAsinC)=(√3)/2
∴2sinAsinC=(√3)/2
∵∠A=60°
∴sinA=(√3)/2
∴2[(√3)/2]sinC=(√3)/2
∴2sinC=1
∴sinC=1/2.
∵∠A=60°
∴0°<∠C<120°
∴∠C=30°
∴∠B=180°-∠A-∠C=90°
∴△ABC是以∠B为直角的直角三角形，sinB=1
∵(√3)b=2asinB，a=6
∴(√3)b=12
∴b=4√3.
∵△ABC是以∠B为直角的直角三角形
∴a^2+c^2=b^2
∴36+c^2=48
∴c^2=12
∴c=2√3.
∴S△ABC=(1/2)ac=6√3.

Answer 2

a/sinA=b/sinB=2R,所以sinB=b/2R
（根号3）b=2asinB
则，（根号3）b=2ab/2R,故，a=3R
代入得：（根号3)R/sinA=2R,即sinA=（根号3）/2………………（1）
向量AB*向量AC=模AB*模AC*COSA>0,又0<A<180…………（2）
综合（1）（2）得A=60
(2):cosB=cos[180-(A+C)=-COS(A+C)
则：cos(A-C)+COSB=COS(A-C)-cos(A+C)=2sinAsinC=（根号3）/2又sinA=（根号3）/2，所以sinC=1/2又A+B+C=180,所以B=90，根据直角三角形定理b=2c, (2c)^=c^+a^ 解得c=2（根号3）
,面积为：S=1/2acsinB=1/2*6*2（根号3）*1=6（根号3）